basis bilangan bulat

Soal teori bilangan bASIS BILANGAN BULAT

1.      Ubahlah lambang bilangan dalam basis desimal ini ke basis yang diminta!

a.       547 =……₃

b.      972 =……₅

c.       2002 =…..₈

d.      2004 =……₄

Jawab

a.       547      =  3.182 + 1

182      = 3.60 + 2

60        = 3.20 + 0

20        = 3. 6 + 2

6          = 3.2 + 0

2          = 3.0 + 2

Jadi, 547 = 202021₃

b.      972      =  5. 194 + 2

194      =  5. 38 + 4

38         = 5. 7 + 3

7          =  5.1 + 2

2          =  5.0 + 2

Jadi, 972  =  22342₅

c.       2002    = 8. 250 + 2

=  8. (8.31 +2) + 2

= 8².31 + 8.2 + 2

= 8² (8.3 + 7) + 8.2 +2

= 8³ . 3 + 8².7 + 8.2 + 2

Jadi, 2002 = 3722₈

d.      2004 = 4. 501 + 0

501   = 4. 125 + 1

125   = 4. 31 + 1

31     = 4.7 + 3

7       =4.1 + 3

1              = 4.0 + 1

Jadi, 2004 = 133110₄

2.      Ubahlah lambang bilangan dalam basis yang diketahui

a.       7105₈   = 111.001.000.101₂

b.      30021₄ =11.00.00.10.01₂ = 1.100.001.001=1411₈

c.       A2FD₁₆    = 22023331₄ =1010001011111101₂

d.      21002₉ = 02.01.00.00.02₃

e.       210021₃ =21.00.21­₃ = 707₉

3.      Hitunglah hasil operasi berikut ini dalam basis 2

a.       101111011 + 1100111011 = 10010110110

    101111011

  1100111011 +

10010110110

b.      111000111 – 100011101 = 101010

 111000111

 100011101 -

       101010

c.       100111 x 1011 = 110101101

100111

    1011 x

100111

           100111

         000000

       100111       +

      110101101

4.      Hitunglah hasil operasi berikut ini dalam basis 3:

a.       2001201 + 100212

b.      2210001 – 2001222

c.       21012 x 2012

d.      101201212 : 122

Penyelesaian

a.       2001201

  100212 +

2102120

b.      2210001

2001222 –

  201002

c.                     21012

                  2012 x

               112101

               21012

              00000

        112101      +

         120200221

d.        = 122001

              122 –

             1200

                122 –

              1001

                122 –

   122

   122 –

      0

5.      Tunjukkanlah bahwa pernyataan berikut ini semuanya benar. Buatlah kesimpulan secara umum tentang fakta – fakta tersebut

a.       8 ⃒  712635₉

b.      7 ⃒  524316₈

c.       6 ⃒  2451114₇

d.      5 ⃒  1423113₆

e.       4 ⃒  1322031₅

Penyelesaian

a.       Akan ditunjukkan bahwa  8 ⃒  712635₉

712635₉ = 7. 9⁵ + 1. 9⁴ + 2. 9³ + 6. 9² + 3. 9¹ + 5

Karena         9   : 8 sisa 1 sehingga 3. 9¹ : 8 bersisa 3

                  9²  : 8 sisa 1 sehingga 6. 9² : 8 bersisa 6

                        9³  : 8 sisa 1 sehingga 2. 9³ : 8 bersisa 2

                  9⁴  : 8 sisa 1 sehingga 1. 9⁴ : 8 bersisa 1

                  9⁵  : 8 sisa 1 sehingga 7. 9⁵ : 8 bersisa 7

Jadi  (7. 9⁵ + 1. 9⁴ + 2. 9³ + 6. 9² + 3. 9¹ + 5) : 8 bersisa ( 7 +1+2+6+3+5) = 24. Karena 24 habis dibagi 8, maka  7. 9⁵ + 1. 9⁴ + 2. 9³ + 6. 9² + 3. 9¹ + 5 habis dibagi 8 atau dituliskan  8 ⃒  712635₉

b.      Akan ditunjukkan bahwa 7 ⃒  524316₈

524316₈ = 5. 8⁵ + 2. 8⁴ + 4. 8³ +3. 8² + 1. 8¹ + 6

Karena         8   : 7 sisa 1 sehingga 1. 8¹ : 7 bersisa 1

                  8²  : 7 sisa 1 sehingga 3. 8² : 7 bersisa 3

                        8³  : 7 sisa 1 sehingga 4. 8³ : 7 bersisa 4

                  8⁴  : 7 sisa 1 sehingga 2. 8⁴ : 7 bersisa 2

                  8⁵  : 7 sisa 1 sehingga 5. 8⁵ : 7 bersisa 5

Jadi  (5. 8⁵ + 2. 8⁴ + 4. 8³ +3. 8² + 1. 8¹ + 6) : 7  bersisa ( 5 +2+4+3+1+6) = 21. Karena 21 habis dibagi 7, maka  5. 8⁵ + 2. 8⁴ + 4. 8³ +3. 8² + 1. 8¹ + 6  habis dibagi 7 atau dituliskan  7 ⃒  524316₈

c.       Akan ditunjukkan bahwa 6 ⃒  2451114₇

2451114₇ = 2. 7⁶ + 4. 7⁵ + 5. 7⁴ +1. 7³ + 1. 7² + 1. 7¹ + 4

Karena         7   : 6 sisa 1 sehingga 1. 7⁶ : 6 bersisa 1

                  7²  : 6 sisa 1 sehingga 1. 7² : 6 bersisa 1

                        7³  : 6 sisa 1 sehingga 1. 7³ : 6 bersisa 1

                  7⁴  : 6 sisa 1 sehingga 5. 7⁴ : 6 bersisa 5

                  7⁵  : 6 sisa 1 sehingga 4. 7⁵ : 6 bersisa 4

                        7⁶  : 6 sisa 1 sehingga 2. 7⁶ : 6 bersisa 2

Jadi  (2. 7⁶ + 4. 7⁵ + 5. 7⁴ +1. 7³ + 1. 7² + 1. 7¹ + 4) : 6  bersisa  2 +4+5+1+1+1+4 = 18. Karena 18 habis dibagi 6, maka  2. 7⁶ + 4. 7⁵ + 5. 7⁴ +1. 7³ + 1. 7² + 1. 7¹ + 4 habis dibagi 6  atau dituliskan  6 ⃒  2451114₇

d.      Akan ditunjukkan bahwa 5 ⃒  1423113₆

1423113₆ = 1. 6⁶ + 4. 6⁵ + 2. 6⁴ +3. 6³ + 1. 6² + 1. 6¹ + 3

Karena         6   : 5 sisa 1 sehingga 1. 6¹ : 5 bersisa 1

                  6²  : 5 sisa 1 sehingga 1. 6² : 5 bersisa 1

                        6³  : 5 sisa 1 sehingga 3. 6³ : 5 bersisa 3

                  6⁴  : 5 sisa 1 sehingga 2. 6⁴ : 5 bersisa 2

                  6⁵  : 5 sisa 1 sehingga 4. 6⁵ : 5 bersisa 4

                        6⁶  : 5 sisa 1 sehingga 1. 6⁶ : 5 bersisa 2

Jadi  (1. 6⁶ + 4. 6⁵ + 2. 6⁴ +3. 6³ + 1. 6² + 1. 6¹ + 3) : 5  bersisa  (2 +4+2+3+1+1+3)= 15. Karena 15 habis dibagi 5, maka 1. 6⁶ + 4. 6⁵ + 2. 6⁴ +3. 6³ + 1. 6² + 1. 6¹ + 3 habis dibagi 5 atau dituliskan  5 ⃒  1423113₆

e.       Akan ditunjukkan bahwa  4 ⃒  1322031₅

1322031₅ = 1. 5⁶ + 3. 5⁵ + 2. 5⁴ +4. 5³ + 0. 5² + 3. 5¹ + 1

Karena         5   : 4 sisa 1 sehingga 3. 5¹ : 4 bersisa 3

                  5²  : 4 sisa 1 sehingga 0. 5² : 4 bersisa 0

                        5³  : 4 sisa 1 sehingga 2. 5³ : 4 bersisa 2

                  5⁴  : 4 sisa 1 sehingga 2. 5⁴ : 4 bersisa 2

                  5⁵  : 4 sisa 1 sehingga 3. 5⁵ : 4 bersisa 3

                        5⁶  : 4 sisa 1 sehingga 1. 5⁶ : 4 bersisa 1

Jadi  (1. 5⁶ + 3. 5⁵ + 2. 5⁴ +4. 5³ + 0. 5² + 3. 5¹ + 1) : 4  bersisa  (1 +3+2+2+0+3+1)= 12. Karena 12 habis dibagi 4, maka 11. 5⁶ + 3. 5⁵ + 2. 5⁴ +4. 5³ + 0. 5² + 3. 5¹ + 1habis dibagi 4 atau dituliskan  4 ⃒  1322031₅

Dari rangkaian penyelesaian soal di atas, maka secara umum dapat kita nyatakan bahwa suatu bilangan yang dituliskan dalam basis b akan habis terbagi oleh (b – 1) apabila jumlah angka – angkanya habis terbagi oleh (b – 1)